Počítání se zápornými čísly

V minulém článku, jsme si řekli, že záporné číslo je dluh.

Př.1:

4 …představím si třeba čtyři jablka, které si pak sním.

-4 …představím si, že dlužím čtyři jablka. Takže až budu mít čtyři jablka vrátím je a nebudu mít nic -4j +4j = 0.

Sčítání a odčítání záporných čísel

Sčítat a odčítat záporné čísla není moc složité. Pokud si představíš, že přidáváš, nebo ubíráš dluh.

  • Přičítám-li kladné číslo, ve výsledku musím mít více.

    (-3) + 5 = 2

    Měla jsem dluh 3 Kč, vydělala jsem si 5 Kč. Po splacení dluhu mi zůstanou +5 – 3 = 2 Kč.
    Po přičtení kladného čísla mám tedy více -3 < 2.

  • Odčítám-li kladné číslo, ve výsledku musím mít méně. Je to jako když odebírám peníze z pokladničky. Pokaždé když něco odeberu, bude v pokladničce méně peněz.

    (-3) – 5 = -8

    Dlužila jsem Lence 3 Kč a ještě jsem si od ní vzala 5 Kč. Dlužím jí teď více => peněz mám méně.
    -3 > -8

  • Přičítám-li záporné číslo, je to stejné jako odčítání kladného (více o zbytečných závorkách tu ). Rozdíl od předchozího případu je v tom, že předtím jsme odebírali peníze ze své pokladničky, zatímco teď nám je líto našich peněz, tak si půjčujeme od druhých a do pokladničky přihazujeme dluhy. Pak to sice vypadá, že máme v pokladničce peníze, ale ty už patří někomu jinému.

4 + (-8) = 4 – 8 = – 4

K mým úsporám 4 Kč přibyl dluh 8 Kč. Mé úspory se tedy zmenšily 4 > – 4.

  • Nejtěžší asi je, představit si, co se děje, když odečítám záporné číslo:

    d – d =  +d -d = 0
    (-3) – (-3) = +(-3) – (-3) = 0

    Přibyl mi dluh 3 Kč, pak jsem ho zaplatila, takže ubyl dluh 3 Kč a ve výsledku jsem na nule a nic nedlužím 🙂

    To je ještě v pohodě. Přibyl mi dluh, ubyl mi stejný dluh, takže nic nedlužím. Teď si ale představme, že máme pokladničku, kam házíme jednak peníze a jednak dluhopisy (co komu dlužíme). A zopakujeme si předešlou situaci s tím že máme v pokladničce 5 Kč:

    5 + (-3) – (-3) = 5 + 0 = 5

    Z předchozího případu víme, že +(-3) – (-3) = 0. Kdo to nechápe, může použít substituci (-3) = d.

    Ale co když budu počítat jinak?

    5 + (-3) – (-3) = 5 – 3 – (-3) = 2 – (-3) = ?

    Marná sláva musí to vyjít stejně jako předtím. Nezáleží na pořadí výpočtu. Takže:

    2 – (-3) = 5

    2 – (-3) = 2 + 3

    Shrnutí

    Takže přičítám-li (+) kladná čísla (a je jedno jestli ke kladným nebo záporným) musím mít ve výsledku více. 5 + 3 > 5, nebo -5 + 3 > -5.

    Odečítám-li (-) kladná čísla (a je jedno jestli ke kladným či záporným) musím mít ve výsledku méně. 7 – 4 < 7, nebo -7 – 4 < -7.

    Přičítám-li (+) záporná čísla, přidávám dluhy a ve výsledku mám méně. 7 + (-4) < 7, nebo -7 + (-4) < -7.

    Odčítám-li (-) záporné čísla, odebírám dluhy a ve výsledku mám tedy více. 10 -(-3) > 10, nebo -2 – (-6) > -2.

    Násobení a dělení záporných čísel

Podobná logika jako u sčítání a odčítání nám pomůže i při násobení. Když nám kamarád odpustí polovinu dluhu, náš dluh se sníží, ale stále budeme dlužit.

(-6) : 2 > -6

(-6) : 2 = -3

(-6) : 2 ≠ 3
 

Když se mi zdvojnásobí dluh, logicky dlužím více a výsledek tedy musí být rovněž záporný.

(-6) * 2 < -6

(-6) * 2 = -12

(-6) * 2 ≠ 12
 

Násobím či dělím-li kladné číslo se záporným, musí vyjít záporný výsledek. Zbývá dořešit násobení dvou záporných čísel.

Příklad 1:
(- 4) * 3 = ?
5 * (-4) = ?
(- 9) : 3 = ?
15 : (-5) = ?
Příklad 2:
4* 5 =
4* (-5) =
-4 * 5 =
-1 * 12 =
Příklad 3:
14 : 2 =
– 14 : 2 =
14 : (-2) =
12 : (-1) =
Příklad 4:
(- 5) * (-5) =
(-14) : (-2) =
-12 * (-1) =
-12 : (-1) =

Násobení a dělení dvou záporných čísel

Násobím-li kladným číslem, není to stejné, jako když násobím záporným.

4 * 5 ≠ 4 * (-5)

4 * 5 ≠ (-4) * 5

h * 5 ≠ h * (-5)

A protože to není to samé musí tato nerovnost platit i když za h dosadím záporné číslo. Tedy:

(-4) * 5 ≠ (-4) * (-5)

A protože (-4) * 5 = -20, pak víme že (-4) * (-5) ≠ -20 (jinak by neplatila nerovnost výše). No a protože chci pořád násobit, nezbývá nic jiného než že (-4) * (-5) = 20. Tedy

DVĚ MÍNUSKA DÁVAJÍ PLUS.

Příklad 5:
(- 3) * (-5) = ?
(-140) : (-10) = ?
-12 * (-1) = ?
12 * (-1) = ?
-12 : (-1) = ?
12 : (-1) = ?