Objem a obsah

Objem je v podstatě to samé jako obsah. Rozdíl je v tom, že zatím co obsah používáme v 2D prostoru, objem je pro 3D prostor. Jak vidíš níže na Obrázku 1 , to co je v 2D čtverec, je ve 3D krychle. No a obsah/objem je to, co je uvnitř toho čtverce/krychle. Teda kolik je toho uvnitř.

Obr. 1: Dvojrozměrný versus trojrozměrný prostor. To co je v 2D čtverec je v 3D krychle.

Když spočítáš počet čtverečků z kterých se skládá čtverec na Obrázku 1, vypočítáš obsah tohoto čtverce.

Když spočítáš krychličky z kterých je poskládaná krychle na obrázků 1, vypočítáš její objem.

A to je celé tajemství obsahu a objemu. Stačí si na ploše představit čtverečký a v prostoru krychličky. Jak velké ty čtverce a kostky mají být si povíme níže.

Možná si vzpomeneš, že čtverečky jsme už někde tady počítali. Ano tady při násobení. A z toho můžeš snadno vyvodit vzorec pro obsah čtverce nebo obdelníku. A když se budeš chvíli snažit příjdeš i na vzorec pro objem krychle a kvádrů. Obsahy kruhových tvarů a rotačních těles, nebo různě šišatých jsou už docela složité a odvození vzorce je kolikrát náročnější než si jej zapamatovat.

Př.1: Vymysli vzorec na výpočet obsahu čtverce, když znáš velikost hrany a (počet řad z nichž se skládá čtverec). Na obrázku 1 je a=3.

Jednotky obsahu/objemu

A teď si povíme jak velké ty čtverce/krychle mají být. K tomu, abychom mohli měřit jak je co velké, dlouhé, daleko, máme jednotky (centimetr,metr,klometr). Zákadní jednotkou je přitom metr a zbylé jednotky jsou od něj odvozené (viz. zde). No a metr použijeme i při počítání obsahu a objemu:

Obr.2: Metr čtvereční a metr krychlový a jejich rozměry
  • jednotka obsahu – metr čtvereční (m2)
  • jednotka objemu – metr krychlový (m3), nebo taky kubík

a máme tím na mysli čtverec/krychli o hraně 1m.

Př.2: Nakresli na zem metr čtvereční.

Př.3: Zkus vytvořit (třeba z větví) metr krychlový.

Co znamená ta dvojka a trojka nad „m“?

Obr.3: Z webu ucimesevenku.cz

Číslo 2 u m2 se nazývá exponent a vyjadřuje druhou mocninu. Stejně tak číslo 3 u m3 znamená umocnění na třetí. Pokud se vám podařilo vyřešit Příklad 1, zjistili jste, že obsah čtverce lze snadno spočíst jako a×a, kde a je hrana čtverce, neboli počet řádků ve čtverci (u Obr.1 je a=3, protože čtverec obsahuje tři řádky. Obsah a×a = 3×3 = 9). No a druhá mocnina je jen jiný zápis pro příklad a×a=a2. Stejně tak můžeme mocninou napsat 3×3=32 a jiné. m2=m×m a m3=m×m×m.

Další jednotky

Obr.4: Síť krychle. Zdroj: blog.h-mat.cz

Stejně jako z metru můžeme odvodit další jednotky (km,cm,dm,…), můžeme i u obsahu používat jednotky cm2,dm2 , km2 … a u objemu cm3 ,dm3 ,… Chceme-li vypočítat obsah v cm2, představáne čtverečky 1cm×1cm. Chceme-li spočítat objem v dm3 pak ci představíme krychli o velikosti 1dm×1dm×1dm.

Př.4.: Spočítej obsah papíru aneb kolik cm2 má papír?

Př.5.: Udělej dm3. Možná ti pomůže síť krychle na Obrázku 4.

Pozor zrada! V článku o jednotkách jsme si vysvětlovali význam předpon jako je kilo-, centi-, deci- apod. Kilo například znamená tisíc. Kilometr je tisíc metru, kilogram tisíc gramů. A tak by nám mohlo přijít na mysl, že kilometr čtvereční je tisíc metrů čtverečních. Ale není tomu tak! Kilometr čtvereční není tisíc čtverečních metrů. Je to díky tomu exponentu. Takže když má nějaká jednotka exponent, bacha na věc. Schválně pojďme zjistit kolik to je.

Př.6.: Kolik cm2 je v 1 dm2?

1 dm = 10 cm
1 dm2 = ? cm2

Př.7.: Kolik m2 je v 1 km2?

1 km = 1000 m
1 km2 = ? m2

Nedaří-li se ti dopočítat příklady výše, zkus si to nakreslit. Ne příkladech výše vidíme, že exponentem musíme prohnat i jednotky. Km2 není jen tisíc m2 nýbrž 1000×1000 m2 = 1 000 000 m2 = 1 km2 A to je slušný skok. Zatímco 1 m2 je půlka prostěradla, 1 km2 je půlka města! A proto existují další jednotky jako je ar a hektar.

1 ar = 100 m2    … čteme ar a jde o čtverec 10×10 m

1 ha = 10 000 m2    … čteme hektar a jde o čtverec 100×100 m

No a nejpoužívanějíší jednotkou objemu je litr. Jeden litr by se vám měl vejít do kostky, kterou jste si vyrobili v příkladu 5. A zajímavé je, že jeden litr vody váží přesně 1kg.

A celý tento článek vznikl, aby jste si mohli vypočítat poslední příklad a pochopili, proč máme v teploměru tu tenkou slámku 😀

Př.8.: Mám dvě nádoby viz. Obr.5 vpravo. Do každé z nich naliju 1 litr vody. Jak vysoko bude hladina u první nádoby? A jak vysoko mi vysoupá hladina u druhé nádoby?