Některé matematické operace spolu kamarádí. Například plus a mínus, nebo krát a děleno mají něco společného. A co? No jsou to kamarádi a rádi spolu tančí kolem dokola, kolem rovnítka.
Odborně řečeno, sčítání a odčítání jsou vzájemně opačné operace, podobně jako násobení a dělení, mocnění a odmocnění, aj. V praxi to znamená to, že když něco omylem přičteme, abychom to napravili, použijeme opačnou operaci – tedy odčítání – a tím to napravíme. A stejně tak když něco omylem odečteme… ale o tom už je první příklad.
Př. 1: Karel omylem sebrale Elišce z košíku 3 jablka. Co udělá, aby to napravil? Tři jablka zase Elišce do košíku vrátí.
k -3 +3 = k
Př. 2:
| 5 -3 = 2 2 +3 = 5 ……5 = 2 +3 |
7 -3 = 4 4 +3 = 7 ……7 = 4 +3 |
12 +3 = 15 15 -3 = 12 ……12 = 15 -3 |
5 +6 = 11 11 -6 = 5 ……5 = 11 -6 |
16 +1 = 17 17 -1 = 16 ……16 = 17 -1 |
V příkladech 2 jsme jakoby něco omylem odečetli či přičetli a v dalším kroku to napravili použitím opačné operace. Poslední řádek je vždy stejný jako předposlední, jen jsme přehodili levou stranu s pravou. Levou a pravou stranu rovnice mohu kdykoli celou přehodit. A teď si odmysli druhý řádek v př.2 a pozoruj, co se stalo. No nic se nestalo, rovnost zůstala zachována, jen jsme jedno číslo přehodili přes rovnítko. A když jsme to číslo přehodili, změnilo se znaménko. Z odčítání se stalo sčítání a naopak. A stejně to platí i pro násobení a dělení. Zkrátka a dobře, když nám matematická operace proleze přes rovnítko, stane se z ní operace opačná.
Ještě poznámka, není-li před číslem znaménko, můžeme tam napsat plus a považovat to pak za sčítání. Jak je vidět v příkladu 3.
Př. 3:
| 5 +3 = 8 0+5 +3 = 8 ……….3 = 8 -5 |
7 +3 = 10 ……3 = 10 -7 |
12 +3 = 15 …….3 = 15 -12 |
5 +6 = 11 …….6 = 11 -5 |
16 +1 = 17 …….1 = 17 -16 |
U násobení a dělení to funguje stejně, ale mnohem lépe se s tím pracuje s použitím zlomků. To, co je dole (jmenovatel) proleze na druhou stranu rovnítka nahodu (do čitatele) a naopak. Jenže zlomky se nedají dost dobře na webu psát, tak si následující příklady 4 přepiš do pěkných zlomků.
Př. 4:
| 12 / 4 = 9 / 3 ……12 = (9*4) / 3 |
24/3 = 4*2 1 / 3 = (4*2) / 24 |
4 * 2 = 8 …….4 = 8/2 …….2 = 8/4 |
a/2 = 3 ….a = 2*3 |
………20 / x = 10 / 2 ……………20 = (10*x) / 2 ………20 * 2 = 10 * x (20*2) / 10 = x ………………x = 40/10 |
A k čemu je takové přehazování přes rovnítko dobré napoví poslední dva sloupce př.4. Jednoduše k tomu, abychom dokázali vytvknout a vypočítat neznámou. Neznámá x šla v př.4 vytknout elegantněji, víš jak?
Chyby při vytýkání neznáme
Dokaď máme v příkladu jeden typ opačných operací, je to v pohodě. Problém nastává, když se do zlomků s násobením zamíchá i sčítání a odčítání. Pak vznikají právem zmatky. Ale nezoufej. Každý sebesložitější příklad jde zjednodušit pomocí substituce.
5 + 4 = 18
….3………..6
5 = 18 -4 ! Chyba. Po dopočítání zjistíš, že to nesedí 5/3 ≠ 7/3
3………..6
5 = 18 ! A ani když čtyřku hodím dolů si nepomůžu. 5/3 ≠ 9
3……..6 -4
Jak z toho ven? Jednoduš, to co ti tam překáží schovej zatím do hrníčku (substituuj). V tomto případě je to sčítání ve jmenovateli.
h = 5+4
h = 18
3………6
h = 18 * 3 ….a až se ti to bude hodit, z hrníčku to zase vysyp
………….6
5+4 = 18 * 3
……………..6
5 = 18 * 3 – 4 … tradá a vypreparovali jsme z příkladu pětku.
………….6
Místo pětky samozřejmně může být neznámá, kterou potřebujeme vytknout a dopočítat. Já zde schválně nechávám čísla, abychom si mohli v každém kroku jednoduše zkontrolovat, zda jsme neudělali chybu. Pokud se levá strana rovnice rovná pravé, máme jistotu, že postupujeme správně.