Rychlost a trojčlenka

Někdo chodí pomalu, někdo rychle. Na kole jsem rychlejší, než když jdu. Auto je ještě rychlejší než kolo. Když uvidíš běhat dva lidi na okruhu, určitě dokážeš říct, kdo z nich má větší rychlost. Ten, který běží rychleji, že? Ale co to je ta rychlost?

KECY OD VĚCI aneb Úvaha na téma rychlost
študák: „Rychlost je něco, co máme když se hýbeme. Souvisí to tedy s pohybem. Když půjdu, budu mít určitě menší rychlost, než když pojedu na kole. Jízda má větší rychlost než chůze.“
učitel: „Máš pravdu, ale co když jdeš, nebo jedeš na kopec? Pěšky to vezmeš zkratkou rovnou na vrchol a na kole pojedeš po asfaltce, která pětkrát obtočí kopec? Pěšky si byl rychleji na kopci než na kole.“
študák: „To protože, zkratka byla kratší a asfaltka delší.“
učitel: „Takže rychlost závisí také na vzdálenosti?“
študák: „Ano. Kdybych šel pěšky taky po asfaltce, budu na kopci později.“
učitel: „Co je to později?“
študák: „Dříve, rychleji. Na kole dorazím po asfaltu třeba za 1 hodinu a pěšky mi to bude trvat 3 hodiny. Pěšky jsem dorazil později.“
učitel: „Později, tedy znamená za větší čas?“
študák: „Ano, čas byl větší.“
učitel: „Rychlost tedy závisí na pohybu, vzdálenosti a čase. Čím menší čas jsem se šel na kopec, tím rychlejší jsem byl.“
študák: „Ano.“
učitel: „A co když se ti kolo po cestě rozbije? Dostaneš defekt a kolo budeš muset tlačit. Pěšky bys tam rychleji než na kole. Nebo jiný příklad pohyb jízdy autem je rychlejší než chůze, ale popojížděl jsi někdy v koloně? Auta co se šourají v koloně mohou mít menší rychlost než chodec.“
študák: „To je pravda na D1 jsme jednou popojížděli hodinu dva kilometry!“
učitel: „Takže je jedno jakým způsobem se pohybuješ. Jestli jedeš nebo jdeš. I auto může mít malou rychlost a i člověk může běžet velkou rychlostí. To co si však použil na vyjádření rychlosti při popisu kolony na dálnici D1, byly hodiny a kilometry. Rychlost tedy ZÁVISÍ na čase a vzdálenosti. A pojďme zjistit, jak závisí.“

 

Př.1: Petr s Veronikou jsou spolužáci a jezdí stejným autobusem do školy. Zastávka je od školy vzdálena 600m. Petr tuto vzdálenost ujde za 10min, zatímco Verči to trvá 12min. Kdo z nich je rychlejší?

Snadné že? A co Klára v dalším příkladu? U Kláry se nám změnila délka trasy, takže se to těžko srovnává. Ale ani to nemusí být problém. Můžeme Kláře stopnout, jak dlouho jde 600m. A nebo to vypočítat pomocí trojčlenky. Tak hurá na to.

Př.2: Klára chodí do školy pěšky půl hodiny. Z domů to má 2km. Chodí Klára rychleji než Petr nebo Verča?

2000 m ….. 30 min
600 m …… k min
—————–
2000 / 600 = 30 / k
2000 / (600*30) = 1 / k
(600 * 30) / 2000 = k
(6*3) / 2 = k
18/2 = k
k = 9

Klára je nejrychlejší, protože 600m ujde za 9min. Zatímco Petrovi to trvá 10min a Verči 12min. Čím menší číslo (čas) tím větší rychlost. Zkusme to jinak. Kolik ujdou všichni za stejný čas?

Př.3: Jak daleko dojde Klára, Petr a Verča z předchozích příkladu za jednu minutu?

2000 m ….. 30 min
k m …… 1 min
——————
2000 / k = 30 / 1
1 / k = 30 / (1*2000)
k = 2000 / 30
k = 200/3
k = 66.7
600 m …. 10 min
p m …… 1 min
—————–
600 / p = 10/1
1 / p = 10 / (1*600)
p = 600 / 10
p = 60
600 m …. 12 min
v m …… 1 min
—————–
600 / v = 12/1
1 / v = 12 / (1*600)
v = 600 / 12
v = 50

Opět jsme se dozvěděli že Klára chodí nejrychleji. Za stejný čas ujde nejvíc metrů. Čím větší číslo, tím větší rychlost. HA! Takže jsme našli číslo, které nám vyjadřuje rychlost! A ta rychlost znamená, kolik metrů se ujde za 1 minutu. Takže teď můžeme říct, že Verča jde rychlostí 50 metrů za minutu, Petr má rychlost 60 m za min a Klářinou rychlost zaokrouhlíme na 67 m za min.

Jak odvodit vzorec pomocí trojčlenky

Všímavější si možná všimli, že v příkladě 3 počítali tři krát to stejné jen s jinými čísly. U poslední trojčlenky stačilo jen přepsat desítku v předposledním kroku na dvanáctku a celé odvozování jsme si mohli ušetřit. Pojďme z toho nyní udělat vzoreček. Abychom nemuseli neustále psát trojčlenky a snadno určili rychlosti zbytku třídy v příkladu 4. Stačí jen čísla z trojčlenky nahradit písmeny, tak jak jsme to dělali u páky. Použijme k tomu tyto písmenka (fyzici se na nich kdysi dohodli, tak jim udělejme radost):
s – vzdálenost (z latinského spatium)
t – čas (z latinského tempus)
v – rychlost (asi z anglického velocity?)

s m ….. t min
v m ….. 1 min
—————
s / v = t / 1
1 / v = t / (1*s)
v = s / t

TRAMTARATATÁ! A vzoreček je na světě.

Př.4: Porovnej rychlosti celé třídy a nezapomeň na Petra, Kláru a Verču z předchozích příkladů. Seřaď nakonec třídu podle rychlosti chůze.
a) Když jde Alex do obchodu trvá mu to hodinu. Z mapy zjistil že obchod je vzdálen 5km.
b) Bára si stopla jak dlouho ji trvá ujít okruh na hřišti. Trvalo ji to 250 sekund. Okruh má 200m.
c) Cyril zase měřil jak daleko se dostane za deset minut. A zjistil že ujde 1200m.
d) Dáša chodí ze zastávky domů 24 min. Je to 2 km.


Takže jsme zjistili, že chceme-li porovnávat rychlosti musíme je převést buď na jednotnou vzdálenost (jako 600m v 2.příkladu), nebo na jednotný čas (jako např. 1 minuta v třetím příkladu). Sjednotíme-li vzdálenost, pak nám rychlost určuje čas, za který kdo tuto jednotnou vzdálenost zdolá. Platí pak, že čím menší je tento čas tím větší je rychlost. To ale nám moc nevyhovuje, my bychom chtěli, aby se číslo, které popisuje rychlost, zvětšovalo s rostoucí rychlostí. Proto se rozhodlo, že se sjednotí čas. Rychlost pak popisuje číslo jenž udává metry-kilometry-prostě vzdálenost, která se urazí za danný čas. Čím větší vzdálenost se urazí, tím větší je rychlost.

Jednotky rychlosti

Jako jednotný čas na který měříme onu vzdálenost určující rychlost se nejčastěji používá 1 hodina. Vzdálenost se pak měří v kilometrech. Jednotka takové rychlosti se pak zapisuje jako zlomek:

km/hod

Př.5:  Rychlost 12 km/hod, pak chápeme tak že za jednu hodinu se urazí 12km.

Samotřejmě jako všude můžeme použít i jiné jednotky. Rychlost větru se kupříkladu udává v metrech za sekundu. Tuto jednotku pak zapíšeme podobně jak předchozí tedy zlomkem m/s. V předchozích příkladech jsme zase používali minuty a metry. Rychlosti počítané v třetím příkladu by tedy měly mít jednotku m/min.

Víš-li kolik minut má 1 hodina a kolik sekund jedna minuta, nebudeš mít problém tyto jednotky převádět. Stačí ti k tomu vzorec pro výpočet rychlosti, nebo trojčlenka.

Př.6: Vítr vane rychlosti 3 m/s. Když poběžím s větrem o závod, vyhraju? V tělocviku uběhnu 200 m za 1 minutu.

Převod jednotek pomocí trojčlenky

Když za sekundu urazí vítr 3m, kam doletí za minutu?

3 m ….. 1 s
x m …… 60 s = 1 min


3/x = 1/60
x/3 = 60/1
x = 3 * 60
x = 180 m/min

Vítr za minutu uletí 180 m. Já uběhnu 200 m, jsem tedy rychlejší.

Převod jednotek pomocí vzorce

s = 200 m
t = 60 s = 1 min
v = s/t


v = 200 / 60
v = 3,333 m/s
 

Já běžím rychlostí 3,333 m/s. Vítr má rychkost 3 m/s. Mám větší rychlost.

 

Př.7:Řítí se na nás orkán rychlostí 35 m/s. Stihneme mu ujet v autě, když pojedem rychlostí 90 km/hod?

Jak převádět jiné jednotky třeba kilometry na metry se dozvíš zde.

Jak odvodit vzorec z jednotky

Už jsme si ukázali jak odvodit vzorec rychlosti pomocí trojčlenky. Ale vzorec jde mnohem snáze odvodit i z jednotek rychlosti.

Obr.2: Jednotka rychlosti na tachometru auta (žluté kolečko vpravo dole)

Každý už asi slyšel „… jede rychlostí 80 km/hod.“ Takže jednotky známe i když se je neučíme. A že kilometry za hodinu se píšou zlomkem km/hod jsme už možná taky někde zahlédli. Třeba na tachometru u auta.

No a vzorec z jednotek odvodíme tak, že přepíšeme ve zlomku jednotky na symbol vzdálenosti (s) a času (t):

v = km / hod = s / t

Jak odvodit vzorec pomocí zlomku?

Pokud dobře rozumíš tomu jak se chová zlomek, když měníš jmenovatele a čitatele, můžeš velmi snadno odvodit vzorec už jen tím, že si uvědomíš co na čem závisí. Z úvodního rozhovoru bychom mohli dojít k těmto dvěma závislostem:

Zvětší-li vzdálenost (kterou urazím za stejný čas), zvětší se rychlost.

Zvětší-li se čas (za který urazím stejnou vzdálenost), zmenší se rychlost.

A známe-li jak funguje zlomek, víme hned kterou veličinu kam dosadit. To co se zvětšuje se zvětšující rychlostí, jde do čitatele. To co mi snižuje rychlost, když se to zvedá jde do jmenovatele. Proč? Protože tak funguje zlomek. Vyzkoušej si to na papíře, nebo v zlomkovém simulátoru.