Chytl mě menší záchvat básnického střeva, snad odpustíte. Každopádně tato veršovaná pohádka je založená na skutečné události. Skutečně svého času žil matematik jménem Euler, od nějž pramení jednotahové hlavolamy, které jsem tu před časem hodila. Na některých obrázcích jsem si však vylámala zuby. Jde to vůbec nakreslit jedním tahem? A protože nejsem sama, kdo si kladl tuto otázku, vznikl tento článek.

Příběh sedmi mostů

Ono totiž stejnou otázku si položil už před 300 lety Euler. Jednoho dne přijeli Eulera navštívit přátelé. Euler je chtěl provést po Královci – městě kde zrovna pracoval. A jak už to tak bývá, nejpěknější procházka vedla po nábřeží. Královec se v té době pyšnil sedmi mosty a Euler je chtěl přátelům všechny ukázat. Ale jako matematik na tom nebyl s kondičkou moc slavně a tak si chtěl ušetřit zbytečného chození. Přemýšlel tedy, jak procházku zoptimalizovat tak, aby každý most prošli pouze jednou. Ale ať přemýšlel jak přemýšlel, ne a ne nalézt onu ideální procházku.

Př. 1: Dokážeš Eulerovi najít takovou trasu, aby prošel každým mostem na právě jednou? Mrkni na obrázek 2 vpravo.

Nám, ani tenkrát Eulerovi se to nepovedlo. Když však odebereme jeden most, je to snadné. Euler s přáteli si pak kreslili různé další teoretické města s různým počtem mostů a ostrůvku a bavili se hledáním ideálních procházek celé odpoledne. Na skutečnou procházku už úplně zapoměli.

Eulerovi vrtalo toto téma ještě dlouho hlavou. Mapy měst si zjednodušil do schématických obrázků, které nazval grafy. A založil matematický obor zvaný Teorie grafů.

Pozn.: Bacha na věc, tento Eulerův graf, je něco jiného než graf funkce.

Na obr.3 vidíš graf, který vznikl z kraloveckých mostu (na obr.2) Nepřipomíná ti to něco? Jj, Euler převedl problém projdi jednou sedm mostů, na problém nakresli graf jedním tahem (eulerovsým tahem). A tak vznikl první jednotahový obrázek (graf).

Zelené puntíky (pevninu) nazval uzly grafu a hnědé čáry (mosty) hranami grafu. A ještě jeden pojem z teorie grafů se nám bude hodit – stupeň uzlu je číslo, kterým označíme uzel (pevninu), podle toho kolik hran (mostů) z ní vede.

Př. 2: Dokážeš doplni stupně uzlů v grafu na obr.3 a obr.4? Správnou odpověď zobrazíš, kliknutím na graf.

Př. 3: Jak by mohla vypadat mapa města z grafu na obr.4?

Kdy se dá nakreslit obrázek jedním tahem?

A konečně se dostáváme k tomu, kdy se dá nakreslit obrázek jedním tahem a kdy ne. Euler uvažoval rozumě. Když na nějaký ostrov vlezu jedním mostem, musí tam být jiný, kterým vylezu. Stupně uzlů by měly být sudé (z každého ostrovu musí vést sudý počet mostů).

Toto logické pravidlo však nestačilo. V druhém příkladu jsem našli uzly třetího stupně u známého jednotahového domečku. Zkusíme ale přidat k jedmomu ze sudých uzlů tohoto domečku čárku. Nakreslíme to pak jedním tahem? A tak nějak Euler došel k druhému pravidlu a to že má-li graf uzly lichého stupně, musí být nanejvýš dva.

Takže suma sumárum. Když chceš zjistit zda jde nakreslit obrázek jedním tahem, podívej se na body v kterých se kříží čáry. Spočítej kolik cest vede z každé takové křižovatky (stupeň uzlu).

Pokud obrázek obsahuje jen sudé křižovatky, obrázek jde vždy nakreslit jedním tahem. To je případ obrázku 7. Ze všech křižovatek (uzlů), které se v obrázku vyskytují vedou právě 4 cesty. Obrázek má tedy jen uzly sudého stupně.

Ve chvíli kdy je v obrázku nějaká křižovatka z které vede lichý počet cest (uzel lichého stupně), je třeba zbystřit. Pokud se tam vyskytují jeden, nebo dva uzly lichého stupně, ještě to nakreslit jedním tahem půjde. To je případ obr. 8.

Ale pokud obrázek obsahuje více než dva uzly lichého stupně, obrázek nakreslit nejde. To je případ obr.11 a obr.14 (mercedes), které obsahují čtyři liché křižovatky (čtyři uzly stupně 3).

Znáš hlavolamy, které se kreslí jedním tahem? Stačí ti k tomu papír a tužka a můžeš zkoušet. Podstatou hlavolamu je překreslit obrázek na papír jedním tahem. Jedním tahem znamená:

• nesmíš zvednout tužku z papíru během kreslení
• každá čára může být vedena jen jednou (nesmíš jet, tam kde už se kreslilo). Překřížit čáry se mohou.

Tak pokud jste zvládli nakreslit srdce jedním tahem lépe než princ z pohádky, můžeme se směle pustit do dalších tvarů.

Tak co, podařilo se vám nakreslit všechny obrázky jedním tahem? Pokud vás to chytlo jako mě za mlada, zde jsem pro vás připravila celý pracovní sešit na toto téma:

No a jako bonus, mám pro vás dárečky. A rovnou čtyři. Ale nejsou určeny k rozvazování a rozbalování. Tyhlety dárečky si budete muset naopak zavázat Takže si najděte nějakou krabici a provázek a můžete se do toho pustit.

Zvládneš převázat balíčky níže jedním provázkem? Opět platí, že v žádném místě nesmí vést provázek 2krát. Je to prostorová obdoba kreslení jedním tahem.

Ve zkratce, funkce potřebujeme ve chvíli, kdy už nám nestačí trojčlenka.

K čemu je funkce?

Kreslení není jen zábava, ale cvičí mozek. Více o tom v článku Mozek a kreslení.

„Jé taky bych chtěla umět tak kreslit.“
„Tak pojď vezmi papír a tužku.“
„Nééé, já kreslit vůbec neumím.“
„Ale umíš, ukážu ti jak na to.“
„Néé, to je ztráta času, škoda papíru, nemám talent,…“

A takhle to dopadlo… Tak kdo měl pravdu? Umí sestřenka kreslit?