Trojčlenka je to nejdůležitější co se matematice naučíš. Bude se ti ještě tisíckrát hodit ve škole i v životě. Pomocí ní si budeš moci odvodit různé vzorečky (rychlost, páky). Procenta, úhly, převádění jednotek a mnoho mnoho dalšího bude pro tebe velmi jednoduché, když budeš umět trojčlenku. UMĚT TROJČLENKU SE VYPLATÍ.

Trojčlenka souvisí se zlomky, více v článku Trojčlenka a zlomky. Než jsem ale na to přišla, dost jsem s trojčlenkou zápasila. Když jsme se ji ve třetí třídě učili (rok 1995), zlomky jsme neznali a museli jsme si pamatovat šipkový postup. No a já se svou děravou pamětí, nikdy nevěděla, co se s čím násobí a co dělí. Každopádně pokud zatím bojuješ se zlomky, můžeš se naučit tento postup –  jak počítat trojčlenku šipkovým postupem.

Když už máš svůj oblíbený postup, je třeba si trojčlenku osahat. A super způsob, jak si procvičit trojčlenku je, hrát si s váhami! Je to jednoduché. Podívej sem: Trojčlenka a váhy.

No a krásný příklad na trojčlenku ze života najdeš tady: Vyplatí se vyrábět máslo?

Slovní úlohy na procvičení trojčlenky najdeš zde: Výukový program – koně (nejeden dospělák se na tom zapotil).

Přeji příjemnou zábavu

více zde: Stirlingův motor

ČR 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

ČŘ 2: 15, 14, 13, 12, 11,

ČŘ 3: 1, 3, 5, 7, 9, 11,

ČŘ 4: 4, 44, 444, 4444,

ČŘ 5: 1, 4, 7, 10, 13,

ČŘ 6: 1, 1, 2, 2, 3, 3,

ČŘ 7: 5, 6, 5, 6, 5, 6,

ČŘ 8: 1, 5, 3, 7, 5, 9, 7, ,

ČŘ 9: 1, 2, 4, 8, 16,

ČŘ 10: 1, 2, 3, 5, 8, 13, ,

ČŘ 11: 11, 5, 2, 11, 7, 4, 11, 9, 8, 11, ,

ČŘ 12: 2, 8, 4, 16, 12, 48, 44, 176, 172, 688,

ČŘ 13: 1, 4, 9, 16, 25, 36, , ,

ČŘ 14: 2, 6, 4, 12, 10, 30, 28, 84,

ČŘ 15: 1, 2, 3, 6, 8, 16, 19, 38,

ČŘ 16: 2, 3, 6, -1, 18, -3, -6, 7, -18, ,

ČŘ 17: 10, 2, 8, 10, -2, 8, -10, -2, -8, ,

Zajímalo mě, jak moc, teda jak málo, toho vidím v mikroskopu.

1.1. Vím, že mám zvětšení 300x, 600x a 1200x. Přičemž to poslední zvětšení má dost mizerný obraz, tak vesměs používám jen to 300x. To znamená, že když pozoruji pod mikroskopem 1 cm zvětší se to na 300 cm = 3 m. Jenže 3 metry v tom malém kukátku těžko vidím. Tak kolik toho vidím? Jak široké je to kolečko, co vidím v mikroskopu? Jaký má průměr (⌀)?

1.2. První co mě napadlo, strčit pod mikroskop pravítko. Když chci něco měřit, tak pravítkem, ne? A hle, co jsem tam uviděla:

Tak a jsem zase o něco chytřejší – ani milimetr se mi do mikroskopu nevleze celý.

Ryska pravítka zabrala téměř polovinu kruhu. Při pohledu na pravítko, odhaduji, že by se do milimetru vešlo 4 až 5 takto tlustých rysek. Takže ryska bude široká 1/5 až 1/4 mm = 0,2 až 0,25 mm. A když se do záběru mikroskopu vlezou 2 rysky, musí být záběr široký 0,4 až 0,5 mm. Takže půlmilimetr by se už mohl vejít do kukátka celý.

1.2.1. Z desetinnými čísly se blbě pracuje, tak si to převedu na menší jednotky a ty jsou…. mili-mikro-nano-piko? Mmt…. mrknu se sem O:) Aha, takže mikrometry (µm) s vtipným značením převráceného h. No jasně mikroskop, mikrometry, to má logiku. A protože milimetrů je 1000 v metru, pak mikrometrů bude 1000 v milimetru (mili-mikro-nano-piko skáče po tisícovkách).

1 m = 1000 mm

1 mm = 1 000 µm

a z toho plyne

0,4 mm = 400 µm

0,5 mm = 500 µm

Takže na základě odhadu šířky rysky pravítka jsem se dopracovala k číslům 400 – 500 µm. V tomto rozmezí se nejspíš pohybuje kruhový výřez pozorovaný mikroskopem.

1.3. Člověk nemůže věřit hned prvnímu číslu, ke kterému se dopracuje. Tak to zkusíme jinou cestou. Jeden z prvních vzorků, který letěl pod mikroskop, byly naše vlasy.

A jak se píše ve wikipedii: „Průměr vlasu je zhruba 18 µm–180 µm.“

Z obrázku je patrné, že:

• hnědý vlas se vleze asi 10 x do kruhu.
• bílý vlas se vleze 20 x do kruhu.

Pokud by ten hnědý patřil mezi ty největší, musel by být kruh široký 180 * 10 = 1800 µm = 1,8 mm.

Pokud by bílý vlas patřil k těm nejmenším, musel by být kruh široký 18 * 20 = 360 µm.

Tak jsme se dostali k intervalu 360 až 1800 µm.

Měření pravítkem tedy bylo přesnější, než měření vlasy, protože co člověk to jinak široký vlas. Vlasy nám sice nezpřesnili náš předchozí výpočet. Na druhou stranu nám ho potvrdili. Navíc jsme zjistili, že pod mikroskopem při zvětšení 300x pěkně vidíme věci, které jsou v řádu desítek µm.

Př.1: Schválně víte kolik je:

tucet = 12
dva tucty = ?
půl tuctu = ?
tři tucty = ?
čtvrt tuctu = ?
veletucet = 12 tuctů = ?

Proč zrovna dvanáctka ?

Proč měla dvanáctka zvláštní název? Proč ne třeba 14, nebo 15, nebo jakékoli jiné číslo? Co je na dvanácce tak zvláštního? To mi vrtalo vždycky hlavou. Nakonec jsem usoudila, že to bylo proto, že 12 je první fajně dělitelné číslo,  proto je dobré v tomto množství balit zboží. Dvanáct vajec si koupí čtyřčlenná domácnost, protože se to dá spravedlivě rozdělit mezi 4 lidi, stejně jako šestičlenná domáctnost, nebo tříčlenná, či dvoučlenná. Zkuste najít další takové dobře dělitelné číslo. To mi jako odpověď na dlouhá leta docela stačilo.

Ale teď jsem zpracovávala téma hodin a zase jsem narazila na ten tucet. Proč je na ciferníku zrovna dvanáct hodin? Proč máme den rozdělený na 12 dílků (a noc na dalších 12)? Proč ne na deset, když jinak vždy pracujeme v desítkové soustavě? Den přece nedělíme, neříkáme „sejdeme se za třetinu dne“, řekneme „sejdeme se za čtyři hodiny“… A aby toho nebylo málo hodina je rozdělená na 5 tuctů minut. Vždyť to nemá logiku.  Máme deset prstů, proto máme desítkovou soustavu. Počítáme prstíky, když nám dojdou, uděláme si čárku a počítáme dál. Že by se v historii používali i jiné soustavy, z kterých zůstal ten tucet? Hledala jsem v knihách na googlu, ale žádnou tuctovou soustavu jsem nenašla.

Jak vidíte v tabulce na obr.2 staré civilizace fičeli taky na desítkach. Očividně i tenkrát měli lidé jen deset prstů.

Měli mezopotámci dvanáct prstů???

Když něco člověku vrtá v hlavě a pokládá si jasné otázky – třeba jen v duchu-, dříve nebo později odpověď příjde. A to se mi stalo i s tuctem. A tak jsem se jednou ocitla v blízkosti zapnuté televize (to se moc často nestává). Vtip je v tom, že zrovna ve tu chvíli běžel v televizi dokument o Mezopotámii. A zrovna v té části, kde se věnovali tuctu. V tom dokumentu vyprávěli, jak lidé v Mezopotámii vymysleli míry, čísla, čas a mimojiné i tucet. A proč tucet? No protože počítali na prstech. Ale nebyli to žádné béčka (jako my dneska:)). V Mezopotámii totiž zvladli počítat na prstech jedné ruky do 12 na! A druhou mohli pohodlně třeba nabírat zboží… To se nedá popsat, to je tak geniální, že se to musí ukázat:

Já z toho měla dobrý den, možná i týden, ale kecám, furt z toho mám radost. A třeba to udělá radost i vám

Samozřejmě jsme neznali žádné učené postupy a pravidla a snažili jsme se příklady vypočíst z fleku a bez kalkulačky, tak jak to mají dělat děti. Kalkulačku jsme použili, pouze na ověření správností výsledku, abychom si ověřili že naše úvahy jsou správné a nekecali vám tu Z našeho rozhovoru vznikly dvě videa. Tady je první z nich:

Dělení desetinných čísel desetinným číslem a ještě navíc se zbytkem!

Pokud někdo zná příklad ze života na toto téma, budu moc vděčná, když mi jej napíšete do komentu.

Další video připravuji…

Řešení je na snadě. Obáku si vyrobit. Však to nemůže být žádná věda, jde jen o poskládaný papír. A na skládání papíru jsou odborníci Japonci – tak hurá na origami.

Obálka číslo 1 – jednoduchá praktická

Obálka číslo2  – pěknější, složitější na skládání, ne tak praktická jako předchozí.

Takže první krok zvládnutý. Obálku už umím složit, jenže nemá holka požadovaný rozměr. Co s tím? Jak velký papír potřebuju, abych měla ve výsledku obálku formátu A5 + nějaká ta rezerva na složku? A to je práce pro mou milovanou trojčlenku. Tak hurá na ní

Čísla v barevných kroužcích u nákresu jsou rozměry v centimetrech. Jinými slovy. Z papíru 21 x 21 cm jsem složila obálku o rozměru 15 x 7,5 cm. Já však potřebuji obálku o rozmerech 22 x 15 cm. Jak velký papír si musím připravit?

Počítáme zlomky – test 1

Chytl mě menší záchvat básnického střeva, snad odpustíte. Každopádně tato veršovaná pohádka je založená na skutečné události. Skutečně svého času žil matematik jménem Euler, od nějž pramení jednotahové hlavolamy, které jsem tu před časem hodila. Na některých obrázcích jsem si však vylámala zuby. Jde to vůbec nakreslit jedním tahem? A protože nejsem sama, kdo si kladl tuto otázku, vznikl tento článek.

Příběh sedmi mostů

Ono totiž stejnou otázku si položil už před 300 lety Euler. Jednoho dne přijeli Eulera navštívit přátelé. Euler je chtěl provést po Královci – městě kde zrovna pracoval. A jak už to tak bývá, nejpěknější procházka vedla po nábřeží. Královec se v té době pyšnil sedmi mosty a Euler je chtěl přátelům všechny ukázat. Ale jako matematik na tom nebyl s kondičkou moc slavně a tak si chtěl ušetřit zbytečného chození. Přemýšlel tedy, jak procházku zoptimalizovat tak, aby každý most prošli pouze jednou. Ale ať přemýšlel jak přemýšlel, ne a ne nalézt onu ideální procházku.

Př. 1: Dokážeš Eulerovi najít takovou trasu, aby prošel každým mostem na právě jednou? Mrkni na obrázek 2 vpravo.

Nám, ani tenkrát Eulerovi se to nepovedlo. Když však odebereme jeden most, je to snadné. Euler s přáteli si pak kreslili různé další teoretické města s různým počtem mostů a ostrůvku a bavili se hledáním ideálních procházek celé odpoledne. Na skutečnou procházku už úplně zapoměli.

Eulerovi vrtalo toto téma ještě dlouho hlavou. Mapy měst si zjednodušil do schématických obrázků, které nazval grafy. A založil matematický obor zvaný Teorie grafů.

Pozn.: Bacha na věc, tento Eulerův graf, je něco jiného než graf funkce.

Na obr.3 vidíš graf, který vznikl z kraloveckých mostu (na obr.2) Nepřipomíná ti to něco? Jj, Euler převedl problém projdi jednou sedm mostů, na problém nakresli graf jedním tahem (eulerovsým tahem). A tak vznikl první jednotahový obrázek (graf).

Zelené puntíky (pevninu) nazval uzly grafu a hnědé čáry (mosty) hranami grafu. A ještě jeden pojem z teorie grafů se nám bude hodit – stupeň uzlu je číslo, kterým označíme uzel (pevninu), podle toho kolik hran (mostů) z ní vede.

Př. 2: Dokážeš doplni stupně uzlů v grafu na obr.3 a obr.4? Správnou odpověď zobrazíš, kliknutím na graf.

Př. 3: Jak by mohla vypadat mapa města z grafu na obr.4?

Kdy se dá nakreslit obrázek jedním tahem?

A konečně se dostáváme k tomu, kdy se dá nakreslit obrázek jedním tahem a kdy ne. Euler uvažoval rozumě. Když na nějaký ostrov vlezu jedním mostem, musí tam být jiný, kterým vylezu. Stupně uzlů by měly být sudé (z každého ostrovu musí vést sudý počet mostů).

Toto logické pravidlo však nestačilo. V druhém příkladu jsem našli uzly třetího stupně u známého jednotahového domečku. Zkusíme ale přidat k jedmomu ze sudých uzlů tohoto domečku čárku. Nakreslíme to pak jedním tahem? A tak nějak Euler došel k druhému pravidlu a to že má-li graf uzly lichého stupně, musí být nanejvýš dva.

Takže suma sumárum. Když chceš zjistit zda jde nakreslit obrázek jedním tahem, podívej se na body v kterých se kříží čáry. Spočítej kolik cest vede z každé takové křižovatky (stupeň uzlu).

Pokud obrázek obsahuje jen sudé křižovatky, obrázek jde vždy nakreslit jedním tahem. To je případ obrázku 7. Ze všech křižovatek (uzlů), které se v obrázku vyskytují vedou právě 4 cesty. Obrázek má tedy jen uzly sudého stupně.

Ve chvíli kdy je v obrázku nějaká křižovatka z které vede lichý počet cest (uzel lichého stupně), je třeba zbystřit. Pokud se tam vyskytují jeden, nebo dva uzly lichého stupně, ještě to nakreslit jedním tahem půjde. To je případ obr. 8.

Ale pokud obrázek obsahuje více než dva uzly lichého stupně, obrázek nakreslit nejde. To je případ obr.11 a obr.14 (mercedes), které obsahují čtyři liché křižovatky (čtyři uzly stupně 3).

Obrázková trojčlenka pro děti