Počítání se zápornými čísly

V úvodu do záporných čísel, jsme si řekli, že záporné číslo je dluh. V tomto si článku si podrobněji probereme operace se zápornými čísly (+-*/). Na podobné téma, ale trochu jinak pojata je galerie řešených příkladů.

Na zahřátí by se mohlo hodit ještě toto video:

Př.1:

4 …představím si třeba čtyři jablka, které si pak sním.

-4 …představím si, že dlužím čtyři jablka. Takže až budu mít čtyři jablka vrátím je a nebudu mít nic k jídlu -4j +4j = 0j.

Sčítání a odčítání záporných čísel

Sčítat a odčítat záporná čísla není moc složité. Pokud si představíš, že přidáváš, nebo ubíráš dluh.

• Přičítám-li kladné číslo, ve výsledku musím mít více.

  (-3) + 5 = 2

  Měla jsem dluh 3 Kč, vydělala jsem si 5 Kč. Po splacení dluhu mi zůstanou +5 – 3 = 2 Kč.
  Po přičtení kladného čísla mám tedy více -3 < 2.
  

  (-3) + 2 = -1

  Po přičtení kladného čísla mám více -3 < -1.
  Více neznamená, že se musím dostat do plusu. Procvič si co je více a méně v Porovnávání záporných čísel.
  

• Odčítám-li kladné číslo, ve výsledku musím mít méně. Je to jako když odebírám peníze z pokladničky. Pokaždé, když něco odeberu, bude v pokladničce méně peněz.

  (-3) – 5 = -8

  Dlužila jsem Lence 3 Kč a ještě jsem si od ní vzala 5 Kč. Dlužím jí teď více a peněz mám méně (Čím větší dluhy mám, tím méně mám peněz).
  -3 > -8
  

• Přičítám-li záporné číslo, je to stejné jako odčítání kladného (více o zbytečných závorkách tu ). Tedy 10 + (-4) = 10 – 4.  Rozdíl si můžeme představit tak, že v jednom případě přihazujeme do své pokladničky dluhy a v druhém případě odebíráme peníze ze své pokladničky peníze. Pokladnička s dluhy nám sice může znít lépe, protože v ní cinkají peníze, ale ty už stejně patří někomu jinému, takže se z nich těšíme zbytečně. A je to tedy to samé, jakobychom si je z ní vybrali.

4 + (-8) = 4 – 8 = – 4

K mým úsporám 4 Kč přibyl dluh 8 Kč. Mé úspory se tedy zmenšily 4 > – 4.

• Nejtěžší asi je, představit si, co se děje, když odečítám záporné číslo:

  d – d =  +d -d = 0
  (-3) – (-3) = +(-3) – (-3) = 0

  Přibyl mi dluh 3 Kč, pak jsem ho zaplatila, takže ubyl dluh 3 Kč a ve výsledku jsem na nule a nic nedlužím 🙂
  

  To je ještě v pohodě. Přibyl mi dluh, ubyl mi stejný dluh, takže nic nedlužím. Teď si ale představme, že máme pokladničku, kam házíme jak peníze tak dluhopisy (dluhy). A zopakujeme si předešlou situaci s tím že máme v pokladničce 5 Kč:

  5 + (-3) – (-3) = 5 + 0 = 5

  Z předchozího případu víme, že +(-3) – (-3) = 0. Kdo to nechápe, může použít substituci (-3) = d.
  
  Ale co když budu počítat jinak? Zleva doprava.
  

  5 + (-3) – (-3) = 5 – 3 – (-3) = 2 – (-3) = ?

  Marná sláva musí to vyjít stejně jako předtím. Nezáleží na pořadí výpočtu. Takže:

  2 – (-3) = 5

  2 – (-3) = 2 + 3

  Shrnutí

  Takže přičítám-li (+) kladná čísla (a je jedno jestli ke kladným nebo záporným) musím mít ve výsledku více. 5 + 3 > 5, nebo -5 + 3 > -5.

  Odečítám-li (-) kladná čísla (a je jedno jestli ke kladným či záporným) musím mít ve výsledku méně. 7 – 4 < 7, nebo -7 – 4 < -7.

  Přičítám-li (+) záporná čísla, přidávám dluhy a ve výsledku mám méně. 7 + (-4) < 7, nebo -7 + (-4) < -7.

  Odčítám-li (-) záporné čísla, odebírám dluhy a ve výsledku mám tedy více. 10 -(-3) > 10, nebo -2 – (-6) > -2.

  Násobení a dělení záporných čísel

Podobná logika jako u sčítání a odčítání nám pomůže i při násobení. Když nám kamarád odpustí polovinu dluhu, náš dluh se sníží, ale stále budeme dlužit.

(-6) : 2 > -6

(-6) : 2 = -3

(-6) : 2 ≠ 3
 

Když se mi zdvojnásobí dluh, logicky dlužím více a výsledek tedy musí být rovněž záporný.

(-6) * 2 < -6

(-6) * 2 = -12

(-6) * 2 ≠ 12
 

Násobím či dělím-li kladné číslo se záporným, musí vyjít záporný výsledek. Zbývá dořešit násobení dvou záporných čísel.

Příklad 1: (- 4) * 3 = ? 5 * (-4) = ? (- 9) : 3 = ? 15 : (-5) = ?	Příklad 2: 4* 5 = 4* (-5) = -4 * 5 = -1 * 12 =
Příklad 3: 14 : 2 = – 14 : 2 = 14 : (-2) = 12 : (-1) =	Příklad 4: (- 5) * (-5) = (-14) : (-2) = -12 * (-1) = -12 : (-1) =

Násobení a dělení dvou záporných čísel

Násobím-li kladným číslem, není to stejné, jako když násobím záporným. Čtyři krát více peněz v pokladničce není to samé co čtyři krát více dluhů.

4 * 5 ≠ 4 * (-5)

h * 5 ≠ h * (-5)

A protože to není to samé musí tato nerovnost platit i když za h dosadím záporné číslo. Tedy:

(-4) * 5 ≠ (-4) * (-5)

A protože (-4) * 5 = -20, pak víme, že (-4) * (-5) ≠ -20 (jinak by neplatila nerovnost výše). No a protože chci pořád násobit, nezbývá nic jiného než že (-4) * (-5) = 20. Tedy

DVĚ MÍNUSKA DÁVAJÍ PLUS.

Příklad 5:
(- 3) * (-5) = ?
(-140) : (-10) = ?
-12 * (-1) = ?
12 * (-1) = ?
-12 : (-1) = ?
12 : (-1) = ?